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 Réflexions mathématiques

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AuteurMessage
Marcel
Invité




Réflexions mathématiques Empty
MessageSujet: Réflexions mathématiques   Réflexions mathématiques EmptyMer 21 Juin - 13:36

On m'a reproché ici de faire unraisonnement par analogie en ce qui concerne le point, en géométrie. Mais il n'en est rien, et la chose eut été facilement compréhensible si l'on s'était donné la peine de réfléchir un peu mieux. Je m'explique : le point, en géométrie, est bien assimilable au zéro sous le rapport de l'étendue, c'est à dire qu'il n'en a aucune (pour la notion d'étendue, qui ne devrait pourtant pas faire de grande difficulté, se reporter à la philosophie de Descartes). En d'autres termes, un point "mesure" 0 centimètre, 0 micromètre, 0 nanomètre, etc. et non pas 0,0000000000quelque chose, il est totalement nul sous le rapport de la quantité mesurable. En revanche, le point, en géométrie, est une unité sous le rapport de la position qu'il détermine ("Le point est une détermination de position", définition d'Euclide dans ses Elements, qu'il a "empruntée" à Pythagore), il est donc une unité sous le rapport de la quanitité non mesurable, ou plutôt non divisible. En physique théorique, par exemple, on représente le point de densité absolue par le chiffre (et non pas le nombre, nous verrons pourquoi par la suite) zéro, ce qui ne veut pas dire, assurément, que ce point n'a pas de réalité et n'existe que dans l'imagination. La ligne droite, en géométrie, ne peut donc pas être "constituée" de points, mais seulement en contenir une indéfinité. Cela se comprend mieux, il me semble, lorsqu'on fait remarquer que l' "infiniment petit" ne peut pas exister en réalité, ou plutôt qu'une quantité minimale d'étendue ne peut pas exister (ce qu'a toujours affirmé Leibniz mais que refusait d'admettre Bernoulli). Cela s'explique très logiquement par la constatation suivante : prenons par exemple 1 millimètre, nous pouvons le diviser par 2, puis par 3, puis pas 4, et ainsi de suite indéfiniment, sans qu'on puisse jamais aboutir à un dernier terme qui serait une parte minima d'étendue (un "infiniment petit", c'est en effet ce qu'entendent la plupart des mathématiciens par ces termes, vous pouvez le vérifier en cherchant bien). En effet, si petit que soit un nombre 1 divisé par N, le nombre 1 divisé par N + 1 sera encore plus petit, si bien qu'on aboutit jamais à un "nombre nul", mais toujours à un nombre "non nul", même s'il est très petit. Or, il est admis que le point ne mesure aucune quantité d'étendue, puisqu'il est sans dimension, de sorte que la division indéfinie de notre segment de droite d'1 millimètre nous donnera systématiquement des segments de droite ( ou plutôt des segments de segment) plus petits (des parties toujours plus petites du millimètre, mais ayant toujours une dimension), et jamais une partie "sans dimension" ou "irréductible" de ce segment d'1 millimètre.

J'ajoute qu'il y a une différence de nature entre le continu (étendue, temps, masse, etc.) et le discontinu (nombre, mot, etc.), il y a même opposition entre les deux, ce qui fait qu'on ne peut obtenir l'équivalent de la discontinuité en l'appliquant à la mesure des quantités continues. En effet, les unités de mesure ne sont telles que conventionnellement, comme on le sait bien, mais ce dont on doit s'apercevoir aussi, c'est que, du fait de la continuité de ce à quoi on applique ces unités de mesure, on ne saurait jamais aboutir à un nombre déterminé d'éléments constituant une "infinité", de sorte que parler d'intevalles pour le continu est parfaitement absurde.
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