Question (géométrie)

D'après vous, peut-on considérer qu'un cercle est un polygone régulier ayant une "infinité" de côtés ?

Capitaine ad hoc a écrit:

D'après vous, peut-on considérer qu'un cercle est un polygone régulier ayant une "infinité" de côtés ?

Oui.

Fulmi a écrit:

Capitaine ad hoc a écrit:

D'après vous, peut-on considérer qu'un cercle est un polygone régulier ayant une "infinité" de côtés ?

Oui.

Vous vous trompez, un cercle n'a aucun côté, si c'était le cas, ce serait un polygone régulier, et non un cercle.

Prenons un polygone régulier ayant un grand nombre de côtés. Si nous multiplions le nombre de ses côtés pour rapprocher sa forme de celle du cercle, nous ne pourrons jamais pour autant multiplier ce nombre de côtés suffisemment pour en faire un cercle. Car cette multiplication doit être indéfine, ce qui veut dire qu'on ne saurait jamais aboutir à une dernière multiplication du nombre de côtés de ce polygone. La différence entre un polygone régulier, quel que soit le nombre de ses côtés, et un cercle, est qualitative (polygone régulier =/= cercle). De même que la différence entre les chiffres 0 et 1 est qualitative (0 = autre chose qu'un nombre, 1 = un nombre), et cela puisque la série des nombres indéfiniment décroissants ne saurait jamais aboutir à un dernier terme, on peut diviser l'unité indéfiniment sans jamais aboutir à zéro, car zéro est qualitativement différent (et non quantitativement) de l'unité (0 = absence de quantité discontinue, ou de nombre, alors que 1 = nombre). De même, un cercle est qualitativement différent d'un polygone régulier : on peut multiplier le nombre de côtés d'un dodécagone par deux (24 côtés), puis encore par deux (48 côtés), puis encore par deux (96 côtés), et ainsi de suite, sans jamais parvenir à s'arrêter à une limite qui ferait de ce polygone régulier un cercle (c'est même contradictoire, car si on pouvait parvenir à une limite, cela signifierait que le nombre de côtés d'un polygone est forcément défini, alors qu'on sait qu'une indéfinité de côtés égaux est possible, sans qu'il y ait de limite, or le cercle est une figure limitée, qualitativement différente du polygone régulier).

De même, la taille d'un cercle peut être augmentée, c'est à dire qu'on peut augmenter la taille de sa circonférence en élargissant son diamètre. De sorte que l'indéfinité des points de sa circonférence peut passer à un ordre d'indéfinité plus élevé. Si le "nombre" des points de cette circonférence était infini, il pourrait devenir encore plus infini si on augmentait cette circonférence, ce qui est absurde puisque l'infini ne peut admettre un infini qui lui soit moindre, ce serait du fini, et le cercle est bel et bien une figure finie.

C'est une des méthodes pour calculer la circonférence d'un cercle:

Considérer le cercle comme un polygone, et faire tendre le nombre de côtés vers l'infini (calcul de limites élémentaire)

Une autre méthode consiste à utiliser les intégrales (intégrale simple pour la circonférence, double pour la surface, triple pour le volume)

Mais je parie que le capitaine trouvera à redire à ce sujet...

Allez Capitaine, allez-y....

Cela dit, j'avais affirmé que je ne viendrais plus déambuler sur Vocabulis, et je le regrette déjà...

Qu'est-ce qu'y va nous trouver comme contre-exemple le capitaine, hein?

Ooops, nous avons posté en même temps.

Je ne dis pas que tous vos propos sont faux, loin de là...

Cependant en maths il existe un certain nombre de postulats de départ... Une fois admis, le principe est de démontrer tout le reste par le calcul...

On peut bien entendu contester que 2 + 2 = 4

Tout dépend de ce qu'on entend par les chiffres "2" et "4", de même que "+" et "="

Capitaine ad hoc a écrit:

D'après vous, peut-on considérer qu'un cercle est un polygone régulier ayant une "infinité" de côtés ?

En fait on ne peut pas tout à fait considérer qu'un cercle est un polygone avec un nombre de côtés infini.

Mais la théorie des limites permet, en faisant tendre le nombre de côtés vers l'infini, d'aboutir à un cercle.
Ce qui constitue un artifice de calcul en quelque sorte...
Là est toute la magie des maths...

mmmm a écrit:

C'est une des méthodes pour calculer la circonférence d'un cercle:

Considérer le cercle comme un polygone, et faire tendre le nombre de côtés vers l'infini (calcul de limites élémentaire)

Une autre méthode consiste à utiliser les intégrales (intégrale simple pour la circonférence, double pour la surface, triple pour le volume)

Mais je parie que le capitaine trouvera à redire à ce sujet...

Allez Capitaine, allez-y....

Cela dit, j'avais affirmé que je ne viendrais plus déambuler sur Vocabulis, et je le regrette déjà...

Qu'est-ce qu'y va nous trouver comme contre-exemple le capitaine, hein?

C'est un calcul d'approximation. On se rapproche le plus possible de la limite, mais comme la limite ne peut être atteinte, c'est approximatif. C'est évident si l'on considère que pi est un "nombre irrationnel", c'est à dire un "nombre" dont la suite de décimales ne connaît pas de terme.

J'écris "nombre" pi, car pi n'est pas un nombre, en réalité, c'est un rapport d'une quantité continue à une autre quantité continue (alors que le nombre est une quantité discontinue).

D'ailleurs, tout calcul de la circonférence d'un cercle ne peut être qu'approximative. Idéalement, il est possible de multiplier le diamètre par pi, mais pi étant un "nombre" incommensurable.

C'est un peu vrai... On ne connaît pas le nombre pi, puisqu'il a une infinité de décimales... On s'en approche de plus en plus, grace à des ordinateurs de plus en plus rapides et puissant... Le problème je crois c'est que le nombre de calcul à faire est exponentiel en fonction du nombre de décimales...

Tout comme le nombre d'or, ou "e" (2,718...)

Tout ceci est finalement assez étrange...

Je poursuis :

D'ailleurs, tout calcul de la circonférence d'un cercle ne peut être qu'approximative. Idéalement, il est possible de multiplier le diamètre par pi, mais pi étant un "nombre" incommensurable, il n'est pas vraiment possible, humainement, de multiplier par pi.

Je précise que pour moi, seuls les entiers naturels sont des nombres, les autres types de "nombres" sont des extensions de l'idée de nombre, une construction de l'esprit humain, c'est l'idée de nombre appliquée à la mesure des grandeurs géométriques, donc, des modes de la quantité continue, alors que les nombres naturels (=/= artificiels) sont des modes de la quantité discontinue.

Les nombres entiers sont des entités logiques naturelles, alors que les extensions de l'idée de nombre ("nombres" rationnels, "nombres" décimaux, etc.) sont des entités logiques artificielles.

mmmm a écrit:

C'est un peu vrai...

Ce n'est pas qu' "un peu" vrai, c'est tout à fait exact, ce sont des calculs d'approximation, comme ne peuvent pas manquer de l'être tous les calculs de la circonférence d'un cercle.

Citation :

On ne connaît pas le nombre pi, puisqu'il a une infinité de décimales...

Et on ne peut le connaître, du fait qu'il a une indéfinité (et non une "infinité") de décimales. Il est impossible de connaître la dernière décimale de pi, puisqu'il n'y en a pas (démontré par Ferdinand Von Lindemann en 1882). Pi est un "nombre" TRANSCENDANT.

Citation :

Tout ceci est finalement assez étrange...

Ce n'est pas du tout étrange, c'est logique, puisque ce genre de "nombre" (il faudrait peut-être plutôt dire "chiffre") est une extension de l'idée de nombre appliquée à la mesure des grandeurs géométriques (ou d'autres sortes de grandeurs continues), qui sont des modes de la quantité continue. Et la quantité continue est qualitativement différente du nombre, qui lui est le mode de la quantité discontinue. Un exemple de quantité continue : le temps, le temps peut être divisé indéfiniment. Nous pouvons avoir 1 seconde, mais aussi 1 seconde et demi, mais aussi 1, 23548... seconde

Voici un extrait d'un texte de Guénon qui traite de cette question, pour être plus clair :

"... c'est, d'une façon générale, (...) l'application qui est faite du nombre, quantité discontinue, à la mesure des grandeurs qui, comme les grandeurs spatiales par exemple, sont de l'ordre de la quantité continue. Entre ces modes de la quantité, il y a une différence de nature telle que la correspondance de l'un à l'autre ne saurait s'établir parfaitement ; pour y remédier jusqu'à un certain point, et autant du moins qu'il est possible, on cherche à réduire en quelque sorte les intervalles de ce discontinu qui est constitué par la série des nombres entiers, en introduisant entre ses termes d'autres nombres, et tout d'abord les nombres fractionnaires, qui n'auraient aucun sens en dehors de cette considération. (...) ... nous prendrons l'exemple le plus simple d'un continu géométrique, c'est à dire une ligne droite : considérons une demi-droite s'étendant indéfiniment dans un certain sens, et convenons de faire correspondre à chacun de ses points le nombre qui exprime la distance de ce point à l'origine ; celle-ci sera représentée par zéro, sa distance à elle même étant évidemment nulle ; à partir de cette origine, les nombres entiers correspondront aux extrémités successives de segments tous égaux entre eux et égaux à l'unité de longueur ; les points entre ceux-là ne pourront être représentés que par des nombres fractionnaires (ou décimales), puisque leurs distance à l'origine ne sont pas des multiples exacts de l'unité de longueur. Il va de soi que, à mesure qu'on prendra des nombres fractionnaires dont le dénominateur sera de plus en plus grand, donc dont la différence sera de plus en plus petite, les intervalles entre les points auxquels correspondent ces nombres se trouveront réduits dans la même proportion ; on peut ainsi faire décrître ces intervalles indéfiniment, théoriquement tout au moins, puisque les dénominateurs des nombres fractionnaires possibles sont tous les nombres entiers, dont la suite croît indéfiniment. Nous disons théoriquement, parce que, en fait, la multitude des nombres fractionnaires étant indéfinie, on ne pourra jamais arriver à l'employer ainsi toute entière ; mais supposons qu'on fasse correspondre idéalement tous les nombres fractionnaires possibles à des points de la demi-droite considérée : malgré la décroissance indéfinie des intervalles, il restera encore sur cette ligne une multitude de points auxquels ne correspondra aucun nombre. Ceci peut sembler singulier et même paradoxal à première vue, et pourtant il est facile de s'en rendre compte, car un tel point peut-être obtenu au moyen d'une figure géométrique fort simple : construisons le carré ayant pour côté le segment de droite dont les extrémités sont les points 0 et 1, et traçons celle des diagonales de ce carré qui par de l'origine, puis la circonférence ayant l'origine pour centre et cette diagonale pour rayon ; le point où cette circonférence coupe la demi-droite ne pourra être représentée par aucun nombre entier ou fractionnaire, puisque sa distance à l'origine est égale à la diagonale du carré et que celle-ci est incommensurable avec son côté, c'est à dire ici avec l'unité de longueur. Ainsi, la multitude des nombres fractionnaires, malgré la décroissance indéfinie de leurs différences, ne peut suffire encore à remplir, si l'on peut dire, les intervalles entre les points contenus dans la ligne, ce qui revient à dire que cette multitude n'est pas un équivalent réel et adéquat du continu linéaire ; on est donc forcé, pour exprimer la mesure de certaines longueurs, d'introduire encore d'autres sortes de nombres qui sont ce qu'on appelle les nombres incommensurables, c'est à dire ceux qui n'ont pas de commune mesure avec l'unité. Tels sont les nombres irrationnels, c'est-à-dire ceux qui représentent le résultat d'une extraction de racine arithmétiquement impossible, par exemple la racine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait ; c'est ainsi que, dans l'exemple précédent, le rapport de la diagonale du carré à son côté et par suite le point dont la distance à l'origine est égal à cette diagonale, ne peuvent être représentés que par le nombre irrationnel "racine carrée de 2", qui est bien véritablement incommensurable, car il n'existe aucun nombre entier ou fractionnaire dont le carré soit égal à 2 ; et, outre ces nombres irrationnels il y a encore d'autres nombres incommensurables dont l'origine géométrique est évidente, comme, par exemple, le nombre pi qui représente le rapport de la circonférence à son diamètre.

Sans entrer encore dans la question de la "composition du continu", on voit donc que le nombre, quelque extension qu'on donne à sa notion, ne lui est jamais parfaitement applicable : cette application revient en somme toujours à remplacer le continu par un discontinu dont les intervalles peuvent être très petits, et même le devenir de plus en plus par une série indéfinie de divisions successives, mais sans jamais pouvoir être supprimés, car, en réalité, il n'y a pas de "derniers éléments" auxquels ces divisions puissent aboutir, une quantité continue, si petite qu'elle soit, demeurant toujours indéfiniment divisible."

Fulmi a écrit:

Capitaine ad hoc a écrit:

D'après vous, peut-on considérer qu'un cercle est un polygone régulier ayant une "infinité" de côtés ?

Oui.

Je reconnais que c'est tentant, mais en fait, non.

Si j'avais le temps et la patience, je répondrais au Capitaine.
Ce ne serait peut-être pas fort utile, il répliquerait à son tour, rien que pour le plaisir...

Bonne nuit Capitaine...

Capitaine ad hoc a écrit:

(0 = autre chose qu'un nombre, 1 = un nombre)

Capitaine ad hoc a écrit:

J'écris "nombre" pi, car pi n'est pas un nombre, en réalité, c'est un rapport d'une quantité continue à une autre quantité continue (alors que le nombre est une quantité discontinue).

Capitaine ad hoc a écrit:

Je précise que pour moi, seuls les entiers naturels sont des nombres, les autres types de "nombres" sont des extensions de l'idée de nombre, une construction de l'esprit humain, c'est l'idée de nombre appliquée à la mesure des grandeurs géométriques, donc, des modes de la quantité continue, alors que les nombres naturels (=/= artificiels) sont des modes de la quantité discontinue.

Les nombres entiers sont des entités logiques naturelles, alors que les extensions de l'idée de nombre ("nombres" rationnels, "nombres" décimaux, etc.) sont des entités logiques artificielles.

Capitaine ad hoc a écrit:

puisque ce genre de "nombre" [pi] (il faudrait peut-être plutôt dire "chiffre")

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


Sans commentaire.

Ca y est, ça recommence.

alejandro a écrit:

Capitaine ad hoc a écrit:

(0 = autre chose qu'un nombre, 1 = un nombre)

Capitaine ad hoc a écrit:

J'écris "nombre" pi, car pi n'est pas un nombre, en réalité, c'est un rapport d'une quantité continue à une autre quantité continue (alors que le nombre est une quantité discontinue).

Capitaine ad hoc a écrit:

Je précise que pour moi, seuls les entiers naturels sont des nombres, les autres types de "nombres" sont des extensions de l'idée de nombre, une construction de l'esprit humain, c'est l'idée de nombre appliquée à la mesure des grandeurs géométriques, donc, des modes de la quantité continue, alors que les nombres naturels (=/= artificiels) sont des modes de la quantité discontinue.

Les nombres entiers sont des entités logiques naturelles, alors que les extensions de l'idée de nombre ("nombres" rationnels, "nombres" décimaux, etc.) sont des entités logiques artificielles.

Capitaine ad hoc a écrit:

puisque ce genre de "nombre" [pi] (il faudrait peut-être plutôt dire "chiffre")

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


Sans commentaire.

Ben oui, tu peux pas faire de commentaire, puisque tu comprends pas.

Ce que tu refuses de comprendre c’est qu’en maths, comme dans toute science, il y a à la base des définitions. Les naturels sont un sous-ensemble des réels, qui sont à leur tour un sous-ensemble des complexes. Et tous ces ensembles ont pour éléments des nombres, dont font partie 0, e, pi, 1/3 et bien d’autres. Ce n’est pas une observation dans la nature, c’est comme ça que ça a été défini. Libre à toi d’utiliser d’autres définitions et dire que par exemple pi n’est pas un vrai nombre. Mais alors, tu ne parles plus le langage des maths. Je trouverais cependant logique que si tu prétends de parler de maths, tu en utilises le langage.

Apparemment, tu ne sais pas ce qu’est un chiffre. Un chiffre est un symbole qui sert à représenter des nombres. Les romains utilisaient des chiffres qu’on dit romains : I, V, D, L, C, etc. Nous utilisons des chiffres qu’on dit arabes, et ils sont au nombre de dix, pas un de plus, pas un de moins. Les chiffres arabes tels que nous les utilisons (parce qu’en réalité en arabe les symboles sont différents, bien que toujours dix) sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Avec les chiffres arabes, la virgule et les opérateurs arithmétiques, on peut potentiellement représenter n’importe quel nombre. Tu as appris quelque chose aujourd’hui, toi qui prétends donner des leçons aux mathématiciens.

Je savais ce qu'étaient les chiffres avant que tu ne me le dises du haut de ta suffisance injustifiée.

J'aurais du dire, effectivement, que pi pourrait peut-être être appelé une suite de chiffres, et pas un chiffre. Mais on dit comménument "un chiffre" pour une suite de chiffres, de nos jours.

Maintenant, si tu n'es pas capable de comprendre, comme l'a expliqué Guénon, que les nombres autres que les nombres entiers naturels sont une extension de l'idée de nombre, tant pis pour toi. Mais ce n'est pas toi qui va apprendre les maths à quelqu'un qui a préparé polytechnique et qui a enseigné les maths au lycée.

Il faut que j'ajoute que les chiffres représentent certains nombres (ils représentent 9 nombres dans la série des entiers naturels). Ainsi, on représente le fait qu'il ya un nombre de trois objets dans une collection par le chiffre 3.

0 est un chiffre qui représente l'absence de nombre. Comme cela est évident pour qui n'est pas embrouillé par des considérations bizarres. 0 n'est pas "plus petit" que 1. Ce qui est plus petit que 1, ce sont les divisions de l'unité, qui n'existent que si l'on considère les quantités continues (une pomme, le temps, etc.) ; mais cette division de l'unité ne peut aboutir à un dernier terme, c'est-à-dire à une dernière fraction. De même que la série des enitiers est indéfiniment croissante, la série des nombres décroissants est indéfinie, ce qui fait qu'on n'aboutit jamais à 0. 0 est donc bien l'absence de nombre, donc autre chose qu'un nombre.

alejandro a écrit:

Nous utilisons des chiffres qu’on dit arabes,

C'est peut-être de là que le Capitaine tire sa vanité...

A propos Capitaine... Traiter Alejandro d'imbécile sur un autre fil... Euh... C'est pas très courtois... Il ne me semble pas qu'Alejandro soit un imbécile, à lire ses nouvelles et ses interventions sur le forum...

Bof... Je ne dis pas que tout ce que dit le Capitaine est faux, mais il semble donner une nouvelle définition à pas mal de choses...
Euh... désolé mais j'ai fait des maths à un niveau particulièrement élevé, et je ne reconnais pas les notions fondamentales dans ce que vous dites...
Jamais entendu parler "d'indéfini" en maths... D'infini oui... Certes certes...

Bref...

Capitaine ad hoc a écrit:

Ben oui, tu peux pas faire de commentaire, puisque tu comprends pas.

Faut reconnaitre que vos propos sont parfois amphigouriques...

Autrement dit, la décroissance indéfinie des nombres ne peut pas plus aboutir à un "nombre nul" (0) que leur croissance indéfinie ne peut aboutir à un "nombre infini", et ce pour la même raison, puisque l'un de ces nombres devrait être l'inverse de l'autre. Il devrait nécessairement y avoir dans ces deux suites (indéfiniment croissante et indéfiniment décroissante) le même nombre de termes de part et d'autre de l'unité. Les derniers termes, qui devraient être le "nombre infini" et le "nombre nul", devraient donc eux-mêmes, s'ils existaient, être également éloignés de l'unité, et ainsi être inverses l'un de l'autre (ceci serait représenté par la notation 0 X infini = 1). Dans ces conditions, si le signe de l'infini (huit couché) n'est en réalité que le symbole des quantités indéfiniment croissantes, le signe 0 devrait logiquement pouvoir être pris pour représenter les quantités indéfiniment décroissantes, afin d'exprimer dans la notation la symétrie qui existe entre les unes et les autres. Mais, malheureusement, ce signe 0 a déjà une signification très différente, car il sert originellement à désigner l'absence de toute quantité, tandis que le huit couché n'a aucun sens qui corresponde à celui-là. C'est une source de confusions, et il faudrait, pour les éviter, créer pour les quantités indéfiniment décroissantes un autre symbole que le zéro, puisque ces quantités ont pour caractère de ne jamais pouvoir s'annuler dans leur variation. En tous cas, avec la notation actuellement employée par les mathématiciens (qui remonte à Leibnitz et à sa méthode infinitésimale), il semble impossible que de telles confusions ne se produisent pas (et je ne suis pas le seul à le dire, même si je ne peux pas donner de nom pour le moment).

mmmm a écrit:

Capitaine ad hoc a écrit:

Ben oui, tu peux pas faire de commentaire, puisque tu comprends pas.

Faut reconnaitre que vos propos sont parfois amphigouriques...

mmmm, je ne sais pas quel âge vous avez, mais le fait que vous me tutoyiez me fait bizarre. Je crois être moins âgé que vous. Vous pouvez me tutoyer si vous voulez.

La question n’est pas de savoir si je comprends ou pas ce que tu dis. Pour ma part, je pense comprendre tout à fait. La question est de savoir si ta rhétorique est recevable ou pas.

On a :

1/ Entre la fin du XIXe et le début du XXe siècles, les mathématiciens se sont méchamment pris le chou sur tout un tas de questions, notamment sur la définition des ensembles, le problème de l’infini et bien d’autres.

2/ Un orientaliste polytechnicien, mort dans les années trente, qui fait pour toi office de maître à penser, et qui s’appelait Guénon, semble avoir été de la mêlée.

3/ Les mathématiciens aujourd’hui enseignent un certain nombre de concepts, tels que l’infini (mais ignorent celui ancien d’indéfini) et de définitions, tel que le point comme l’intersection de deux droites.

4/ Te basant sur ce qu’a pu dire ce Guénon, qui apparemment n’a pas été retenu par les mathématiciens par la suite, et citant des savants anciens tels que Leibniz ou Descartes, dont certains des travaux n’ont pas non plus été retenus dans les mathématiques modernes, ainsi que des philosophes de la Grèce ancienne, tu affirmes tout un tas de choses, mais qui en gros, reviennent à dire que les mathématiques actuelles sont un peu n’importe quoi.

Et tu t’attends à ce qu’on te prenne au mot.

Eh bien bonne chance.

Capitaine ad hoc a écrit:

Je savais ce qu'étaient les chiffres avant que tu ne me le dises du haut de ta suffisance injustifiée.

Je ne sais pas où tu vois de la suffisance, mais passons.

Il est toujours facile de dire qu’on savait qu’est-ce que quelque chose après qu’on l’ait expliqué. Ton post où tu dis que pi n’est pas un nombre et qu’on devrait dire que c’est un chiffre montre on ne peut plus clairement qu’au moment de l’écrire tu ne savais pas ce qu’était un chiffre. Aie pour une fois l’honnêteté de l’avouer.

Là où on assimile un chiffre à un nombre c’est en comptabilité et dans le monde du commerce. Ici, on essaye de parler de maths.